Question

如图1，AB是⊙O的直径，射线BM⊥AB，垂足为B，点C为射线BM上的一个动点（C与B不重合），连结AC交⊙O于D，过点D作⊙O的切线交BC于E．

（1）若DE∥AB时（如图1），求∠ACB的度数；
（2）在C点运动过程中（如图2），试比较线段CE与BE的大小，并说明理由；
（3）如图2，当AB=5，AD=3时，求线段DE的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连接OD，如图，根据切线的性质由DE为⊙O的切线得∠ODE=90°，由于BM⊥AB，DE∥AB，可判断四边形OBED为正方形，则∠BOE=90°，于是得到△ADO为等腰直角三角形，所以∠A=45°，然后利用互余即可得到∠ACB=45°；
（2）如图2，根据切线的判定定理得到EB为⊙O的切线，则根据切线长定理得ED=DB，则利用等腰三角形的性质得∠1=∠2；再根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠ADB=90°，利用等角的余角线段有∠3=∠4，所以ED=EC，于是得到CE=BE；
（3）如图2，在Rt△ADB中，根据勾股定理计算出BD=4，再证明Rt△ABD∽Rt△ACB，利用相似比计算出AC=

25

3

，然后在Rt△ABC中，再利用勾股定理计算出
BC=

20

3

，然后利用（2）中的结论即可得到DE=

1

2

BC=

10

3

．

解答：解：（1）连接OD，如图，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∵BM⊥AB，DE∥AB，
∴∠DEB=∠ABE=90°，
而OD=OB，
∴四边形OBED为正方形，
∴∠BOE=90°，
∴△ADO为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴∠ACB=45°；
（2）CE=BE．理由如下：
如图2，∵AB是⊙O的直径，射线BM⊥AB，
∴EB为⊙O的切线，
而DE为⊙O的切线，
∴ED=DB，
∴∠1=∠2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴ED=EC，
∴CE=BE；
（3）如图2，在Rt△ADB中，AB=5，AD=3，
∴BD=

AB2-AD2

=4，
∵∠DAB=∠BAC，
∴Rt△ABD∽Rt△ACB，
∴

AB

AC

=

AD

AB

，即

5

AC

=

3

5

，
∴AC=

25

3

，
在Rt△ABC中，
BC=

AC2-AB2

=

20

3

，
∴DE=

1

2

BC=

10

3

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定与性质、圆周角定理、正方形的判定与性质和等腰三角形的性质；会运用勾股定理和相似比计算线段的长．