Question

如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有请求出所有符和条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，列方程组求抛物线解析式；
（2）求直线AC的解析式，确定E点坐标，根据对称性求F点坐标，分别求直线AF，CF的解析式，确定两直线与x轴的交点坐标，判断两个交点关于抛物线对称轴对称即可；
（3）存在．由∠CFE=∠AFE=∠FAP，△AFP与△FDC相似时，顶点A与顶点F对应，根据△AFP∽△FDC，△AFP∽△FCD，两种情况求P点坐标．
解答：（1）解：设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，得
，
解得，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+6；

（2）证明：设直线AC的解析式y=mx+n，
将A、C两点坐标代入，得，
解得，
∴y=-x+6，
∵y=x²-4x+6=（x-4）²-2，
∴D（4，-2），E（4，4），
∵F与E关于D对称，
∴F（4，-8），则直线AF的解析式为y=-x+6，CF的解析式为y=x-22，
∴直线AF，CF与x轴的交点坐标分别为（，0），（，0），
∵4-=-4，
∴两个交点关于抛物线对称轴x=4对称，
∴∠CFE=∠AFE；

（3）解：存在．
设P（0，d），则AP=|6-d|，AF==2，
FD=-2-（-8）=6，CF==，
∵∠PAF=∠CFD，
∴点P位于点A的下方，
当△AFP∽△FDC时，=，即=，解得d=（舍去）或-，
当△AFP∽△FCD时，=，即=，解得d=-2或14（舍去），
∴P点坐标为（0，-）或（0，-2）．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题．