Question

17．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），求证：△BCE≌△CAM．

Answer 1

分析 （1）先证出∠ACE=∠CBG，再由ASA证明△ACE≌△CBG，得出对应边相等即可；
（2）先证出∠CEB=∠CMA，再由AAS证明△BCE≌△ACM．

解答 解：（1）∵点D是AB的中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°．
∴∠CAE=∠BCG．
又BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
又∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG．
在△AEC和△CGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠BCG}\\{AC=BC}\\{∠ACE=∠CBG}\end{array}\right.$
∴△AEC≌△CGB．
∴AE=CG．
（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°．
∴∠CMA=∠BEC．
又AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠CMA}\\{∠CBE=∠ACM}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴∠BCE≌△CAM（AAS）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．