Question

20．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．
（1）求证：AH=BD；
（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；
（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；
（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；
（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．

解答 （1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，
∴∠ADO=∠BHO=90°，
在△ADO与△BHO中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADO=∠BHO\\∠AOD=∠BOH\\ OA=OB\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△BHO（AAS），
∴OH=OD，
又∵OA=OB，
∴AH=BD；
（2）解：连接AB、AF，如图1所示，

∵AO是半径，AO⊥弦BF，
∴∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
在Rt△ADB与Rt△BHA中，
$\left\{\begin{array}{l}AH=BD\\ AB=BA\end{array}\right.$，
∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），
∴∠ABF=∠BAD，
∴∠BAD=∠AFB，
又∵∠ABF=∠EBA，
∴△BEA∽△BAF，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BA}{BF}$，
∴BA²=BE•BF，
∵BE•BF=y，
∴y=BA²，
∵∠ADO=∠ADB=90°，
∴AD²=AO²-DO²，AD²=AB²-BD²，
∴AO²-DO²=AB²-BD²，
∵直径BC=8，BD=x，
∴AB²=8x，
则y=8x（0＜x＜4）；
方法二：∵BE•BF=y，BF=2BH，
∴BE•BH=$\frac{1}{2}$y，
∵△BED∽△BOH，
∴$\frac{BE}{OB}$=$\frac{BD}{BH}$，
∴OB•BD=BE•BH，
∴4x=$\frac{1}{2}$y，
∴y=8x（0＜x＜4）；
（3）解：连接OF，如图2所示，

∵∠GFB是公共角，∠FAE＞∠G，
∴当△FAE∽△FBG时，∠AEF=∠G，
∵∠BHA=∠ADO=90°，
∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠AEF=∠AOD，
∴∠G=∠AOD，
∴AG=AO=4，
∵∴∠AOD=∠AOF，
∴∠G=∠AOF，
又∵∠GFO是公共角，
∴△FAO∽△FOG，
∴$\frac{AF}{OF}$=$\frac{OF}{FG}$，
∵AB²=8x，AB=AF，
∴AF=2$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{2\sqrt{2}x}{4}$=$\frac{4}{4+2\sqrt{2}x}$，
解得：x=3±$\sqrt{5}$，
∵3+$\sqrt{5}$＞4，舍去，
∴BD=3-$\sqrt{5}$．

点评 此题属于圆的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．