Question

20．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线，垂足为F，交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED=∠C．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AC=10，cos∠BED=$\frac{4}{5}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）先证∠BAD+∠AOF=90°，再由圆周角定理和已知条件找出∠BAD=∠C，得出∠C+∠AOF=90°，从而证出AC⊥OA，得出结论；
（2）先由三角函数求出CF，再由勾股定理求出AF，然后由垂径定理即可得出结果．

解答 解：（1）直线AC是⊙O的切线；理由如下：
∵OE⊥AD，
∴∠AFO=90°，
∴∠BAD+∠AOF=90°，
∵∠BED=∠C，∠BED=∠BAD，
∴∠BAD=∠C，
∴∠C+∠AOF=90°，
∴∠OAC=90°，即AC⊥OA，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）∵cos∠BED=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠C=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{4}{5}$，
∴CF=AC•$\frac{4}{5}$=10×$\frac{4}{5}$=8，
∴AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵OE⊥AD，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD，
∴AD=2AF=12．

点评 本题考查了切线的判定、锐角三角函数、勾股定理的运用；熟练掌握切线的判定方法，运用锐角三角函数进行计算是解决问题的关键．