Question

1．如图，在正方形ABCD中，点C₁在边BC上，将△C₁CD绕点D顺时针旋转90°得到△A₁AD．A₁F平分∠BA₁C₁，交BD于点F，过点F作FE⊥A₁C₁，垂足为E，当A₁E=3，C₁E=2时，则BD的长为$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 连接C₁F，作FH⊥AB于H，FG⊥BC于G，如图，利用正方形的性质得FB平分∠HBG，则可判断C₁F平分∠GC₁E，利用角平分线的性质得FH=FG=FE，易得△A₁HF≌△A₁EF，△C₁GF≌△C₁EF，四边形BGFH为正方形，所以A₁H=A₁E=3，C₁G=C₁E=2，设BG=BH=x，根据勾股定理得（2+x）²+（3+x）²=5²，解得x=1，接着根据旋转的性质得A₁A=C₁C，所以4-CC₁=3+C₁C，解得C₁C=$\frac{1}{2}$，所以BC=$\frac{7}{2}$，然后利用BD=$\sqrt{2}$BC进行计算．

解答 解：连接C₁F，作FH⊥AB于H，FG⊥BC于G，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴FB平分∠HBG，
而A₁F平分∠BA₁C₁，
∴C₁F平分∠GC₁E，
∴FH=FG=FE，
易得△A₁HF≌△A₁EF，△C₁GF≌△C₁EF，四边形BGFH为正方形，
∴A₁H=A₁E=3，C₁G=C₁E=2，
设BG=BH=x，
在Rt△A₁BC₁中，（2+x）²+（3+x）²=5²，解得x₁=1，x₂=-6（舍去），
∴A₁B=4，BC₁=3，
∵△C₁CD绕点D顺时针旋转90°得到△A₁AD，
∴A₁A=C₁C，
而AB=BC，
∴4-CC₁=3+C₁C，解得C₁C=$\frac{1}{2}$，
∴BC=3+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴BD=$\sqrt{2}$BC=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
故答案为$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．