Question

5．在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA=3，OB=4．把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC．边OB上的一点M旋转后的对应点为M′，当AM′+DM取得最小值时，点M的坐标为（　　）

• A． （0，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）
• B． （0，$\frac{3}{4}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{3}}{5}$）
• D． （0，3）

Answer 1

分析 根据旋转的性质得到AM=AM′，得出AM′+DM的最小值=AM+DM的最小值，作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′=AM′+DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，解直角三角形得到DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×3=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AE=$\frac{3}{2}$，求出D（$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），根据轴对称的性质得到D′（-$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），求出直线AD′的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$x+$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，于是得到结论．

解答 解：∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BC边上的一点，
∴AM=AM′，
∴AM′+DM的最小值=AM+DM的最小值，
作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，
则AD′=AM′+DM的最小值，
过D作DE⊥x轴于E，
∵∠OAD=120°，
∴∠DAE=60°，
∵AD=AO=3，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×3=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AE=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴D′（-$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
设直线AD′的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{\frac{3\sqrt{3}}{2}=-\frac{9}{2}k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{5}}\\{b=\frac{3\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线AD′的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$x+$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
当x=0时，y=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∴M（0，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$），
故选A．

点评 本题考查了坐标与图形的变换-旋转，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．