Question

13．已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，Rt△DCE中，∠CDE=90°，CD=DE．
 
（1）若CD⊥BC，且BD平分∠ABC，交AC于F，AF=1，求CD的长度；
（2）如图2，若将△DCE绕点C顺时针旋转一定角度，连接AD，BE，点M是AD的中点，点N是BE的中点，求证：MN⊥AD．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABF∽△BCD，推出$\frac{AF}{CD}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可解决问题；
（2）如图2中，连接DN，由此DN使得NH=DN，连接AH、AN、BH，延长BH交AC于O，交CD于F，只要证明△ABH≌△ACD，推出AH=AD，∠BAH=∠CAD，推出∠HAD=∠BAC=90°，推出△ADH是等腰直角三角形，由HN=ND，即可推出△AND是等腰直角三角形；

解答 （1）解：如图1中，

∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=∠A=90°，
∴△ABF∽△BCD，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=$\sqrt{2}$；

（2）如图2中，连接DN，由此DN使得NH=DN，连接AH、AN、BH，延长BH交AC于O，交CD于F．

∵BN=EN，∠BNH=∠DNE，NH=DN，
∴△DNE≌△HNB，
∴BH=DE=DC，∠DEN=∠NBH，
∴DE∥BF，∵DE⊥CD，
∴BF⊥CD，
∴∠OFC=∠OAB=90°，∵∠AOB=∠COF，
∴∠OCF=∠OBA，
∵AB=AB，BH=CD，∠ABH=∠ACD，
∴△ABH≌△ACD，
∴AH=AD，∠BAH=∠CAD，
∴∠HAD=∠BAC=90°，
∴△ADH是等腰直角三角形，∵HN=ND，
∴△AND是等腰直角三角形，
∵AM=MD，
MN⊥AD．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．