Question

【题目】在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝AC，点E，F分别CD、AC边上的点，且AF＝CE，BF的延长线交AE于点G．

（1）若DE＝2，AD＝8，求AE．

（2）若G是AE的中点，连接CG，求证：AE+CG＝BG．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）详见解析

【解析】

（1）证明△ABC是等腰直角三角形，得出CD=AB=AC=BC=4，求出CE=CD-DE=2，由勾股定理即可得出答案；

（2）证明△ABF≌△CAE（SAS），得出BF=AE，∠ABF=∠CAE，取BF的中点H，连接AH，由直角三角形斜边上的中线性质得出AH=BF=BH，CG=AE=AG，得出∠ABF=∠BAH，证出∠BAH=∠CAE，证出∠GAH=∠BAF=90°，得出AH=AG=BH=CG，因此△GAH是等腰直角三角形，得出GH=AG=AE，即可得出结论．

（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC＝8，

∵∠ABC＝45°，AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，

∴ACD＝∠BAC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴CD＝AB＝AC＝BC＝4，

∵DE＝2，

∴CE＝CD﹣DE＝2，

∴AE＝＝＝2；

（2）证明：在△ABF和△CAE中，

，

∴△ABF≌△CAE（SAS），

∴BF＝AE，∠ABF＝∠CAE，

取BF的中点H，连接AH，如图所示：

∵∠BAF＝90°，AH＝BF＝BH，

∴∠ABF＝∠BAH，

∴∠BAH＝∠CAE，

∴∠GAH＝∠BAF＝90°，

∵∠ACF＝90°，G是AE的中点，

∴CG＝AE＝AG，

∴AH＝AG＝BH＝CG，

∴△GAH是等腰直角三角形，

∴GH＝AG＝AE，

∴AE+CG＝GH+BH＝BG．