Question

11．如图，AC，BD为⊙O的两条弦，AC，BD相交于点P，
（1）若AC=BD，求证：①$\widehat{AB}=\widehat{DC}$；②BP=CP
（2）连接OP，若OP平分∠BPC，求证：AC=BD．

Answer 1

分析 （1）连接BC，如图1，①根据圆心角、弧、弦的关系由AC=BD得到$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，然后利用等量减等量差相等即可得到$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$；②根据圆周角定理由$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$得到∠C=∠B，然后根据等腰三角形的判定定理可得BP=CP；
（2）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，如图2，根据角平分线定理得OM=ON，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC=BD，再与（1）一样可得BP=CP．

解答 证明：（1）连接BC，如图1，
①∵AC=BD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AC}$-$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$-$\widehat{AD}$，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$；
②∵$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴∠C=∠B，
∴BP=CP；
（2）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，如图2，
∵OP平分∠BPC，
∴OM=ON，
∴AC=BD，
由（1）得BP=CP．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．