Question

19．如图，已知点D是边长为1的等边三角形ABC的内心，点E，F分别在边AB，AC上，且满足∠EDF=60°，求△AEF的周长．

Answer 1

分析 连接AD、CD、EF，在AC上取点G使CG=AE，证明△EAD≌△GCD，得到DE=DG，∠EDA=∠GDC，证明△FDE≌△FDG，得到答案．

解答 解：连接AD、CD、EF，在AC上取点G使CG=AE，
∵△ABC是等边三角形，点D是内心，
∴∠EAD=∠GCD=30°，
在△EAD和△GCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CG}\\{∠EAD=∠GCD}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△GCD，
∴DE=DG，∠EDA=∠GDC，
∴∠FDG=60°，
在△FDE和△FDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠FDE=∠FDG}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△FDE≌△FDG，
∴FG=EF，
则△AEF的周长=AE+EF+AF=AF+FG+CG=1．

点评 本题考查的是三角形的内心的概念和性质、等边三角形的性质，掌握等边三角形的内心和外心重合是解题的关键．