Question

如图，点A在双曲线y=

k

x

（k≠0）上，过点A作AB⊥x轴于点B（1，0），且△AOB的面积为1．
（1）求k的值；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，请在图中画出△A′OB′，并直接写出点A′，B′的坐标；
（3）连接A′B，求直线A′B的表达式．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）根据反比例函数k的几何意义得到S_△AOB=

1

2

|k|=1，然后去绝对值确定满足条件的k的值；
（2）先利用反比例函数解析式确定A点坐标为（1，2），再根据旋转的定义画出几何图形，然后根据旋转的性质得∠A′B′O=∠ABO=90°，∠B′OB=90°，OB′=OB=1，A′B′=AB=2，再写出点A′，B′的坐标；
（3）利用待定系数法求直线A′B的表达式．

解答：解：（1）根据题意得S_△AOB=

1

2

|k|=1，
∵k＞0，
∴k=2；
（2）画图，
反比例函数解析式为y=

2

x

，把x=1代入得y=2，则A点坐标为（1，2），
∵△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，
∴∠A′B′O=∠ABO=90°，∠B′OB=90°，OB′=OB=1，A′B′=AB=2，
∴A′点坐标为（-2，1），B′点坐标为（0，1）；   
（3）设直线A′B的表达式y=kx+b（k≠0），
把A′（-2，1），B （1，0）代入

-2k+b=1 k+b=0

，解得

k=- 1 3 b= 1 3

，
∴直线A′B的表达式为y=-

1

3

x+

1

3

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．