Question

2．如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=$\frac{1}{8}$．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：$\sqrt{2}$=1.4，$\sqrt{3}$=1.7，$\sqrt{5}$=2.2）

Answer 1

分析 （1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD=$\frac{1}{2}$AC=2，由三角函数求出CD=2$\sqrt{3}$，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果；
（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=$\frac{AD}{MD}$即可得出结果．

解答 解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：
在Rt△ADC中，AC=4，
∵∠C=150°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=2，
CD=AC•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ABD中，tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2}{BD}$=$\frac{1}{8}$，
∴BD=16，
∴BC=BD-CD=16-2$\sqrt{3}$；
（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示：
∵∠ACB=150°，
∴∠AMC=∠MAC=15°，
tan15°=tan∠AMD=$\frac{AD}{MD}$=$\frac{2}{4+2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$≈0.27≈0.3．

点评 本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键．