Question

15．AB是⊙O的直径，D是$\widehat{AB}$上的一点，C是$\widehat{AD}$的中点，AD，BC相交于E，CF⊥AB，F为垂足，CF交AD于G，求证：①CG=EG=AG；②AD=2CF．

Answer 1

分析 ①连接CD，根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠ADC=∠ACD，根据∠ACF+∠GCE=90°，∠CAD+∠GEC=90°，得到答案；
②延长CF交⊙O于H，由①证得∠ACH=∠CAD，于是得到$\widehat{AH}$=$\widehat{CD}$，$\widehat{CH}$=$\widehat{AD}$，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到AD=CH，根据垂径定理得到CH=2CF，等量代换即可得到结论．

解答 证明：①连接CD，
∵C是$\widehat{AD}$的中点，
∴∠ABC=∠ADC=∠CAD，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，CF⊥AB，
∴∠ACF=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAD，
∴AG=CG，
∵∠ACF+∠GCE=90°，∠CAD+∠GEC=90°，
∴∠GCE=∠GEC，
∴CG=EG，
∴CG=EG=AG；

②延长CF交⊙O于H，
由①证得∠ACH=∠CAD，
∴$\widehat{AH}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{CH}$=$\widehat{AD}$，
∴AD=CH，
∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，
∴CH=2CF，
∴AD=2CF．

点评 本题考查的是圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，掌握同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于90°是解题的关键．