Question

8．如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-$\frac{1}{2}$x+m交折线OAB于点E．
（1）若直线y=-$\frac{1}{2}$x+m经过点A，请直接写出m的值；
（2）记△ODE的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否分随着E点位置的变化而变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入直线方程来求m的值；
（2）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（3）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．

解答 解：（1）把点A（6，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x+m．得
0=-$\frac{1}{2}$×6+m，
解得m=3；

（2）由题意得B（6，2）．
若直线经过点A（6，0）时，则m=3，
若直线经过点B（6，2）时，则m=5；
若直线经过点C（0，2）时，则m=2
当点E在OA上时，2＜m≤3，
如图1，此时E（2m，0），则S=$\frac{1}{2}$OE•CO=2m
当点E在BA上时，3＜m＜5，
如图2，此时E（6，m-3），D（2m-4，2）
∴S=S_矩形OABC-（S_△OCD+S_△DBE+S_△OAE）
=OA•OC-（$\frac{1}{2}$CD•OC+$\frac{1}{2}$BD•BE+$\frac{1}{2}$OA•AE）
=12-[$\frac{1}{2}$（2m-4）×2+$\frac{1}{2}$×（10-2m）（5-m）+$\frac{1}{2}$×6×（m-3）]
=5m-m²
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{2m（2＜m≤3）}\\{5m-{m}^{2}（3＜m＜5）}\end{array}\right.$；

（3）如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，
则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形．
根据轴对称知，∠MED=∠NED
又∵由DM∥NE可知∠MDE=∠NED
∴∠MED=∠MDE
∴MD=ME
∴平行四边形DNEM为菱形，
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，DH=2
∵HE=OE-OH=[2m-（2m-4）]=4
∴HN=HE-NE=4-a
由勾股定理得：（4-a）2+22=a2
解得a=$\frac{5}{2}$，
∴S_{四边形DNEM}=NE•DH=5
∴矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不会随着点E位置的变化而变化，面积始终为5．

点评 考查了一次函数综合题，本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．