Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AE⊥BC于点E，CD平分∠ACB交AB于点D，CD、AE交于点F，FG∥AB交BC于点G，求证：四边形ADGF是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定

专题：证明题

分析：首先利用平行线的性质得出∠CNG=90°，进而得出△ANF≌△GEF（AAS），即可得出EG=AN，再证明△ADC≌△DGC（SAS），即可得出AD=DG，∠CAD=∠CGD=90°，再判断四边形ADGF是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案．

解答：证明：延长GF到AC一点N，
∵FG∥AB，∠CAB=90°，
∴∠CNG=90°，
∵∠AEC=90°，∠ACD=∠DCB，
∴FG=EF，
在△ANF和△GEF中
∵

∠NAF=∠EGF ∠AFN=∠GFE NF=EF

，
∴△ANF≌△GEF（AAS），
∴EG=AN
∴CA=GC，
在△ADC和△DGC中
∵

CA=CG ∠ACD=∠GCD CD=CD

，
∴△ADC≌△DGC（SAS），
∴AD=DG，∠CAD=∠CGD=90°，
∴AE∥DG，
又∵FG∥AD
∴四边形ADGF是平行四边形，
∵AD=DG，
∴四边形ADGF是菱形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的判定和平行四边形的判定等知识，得出△ADC≌△DGC（SAS）是解题关键．