题目内容
20．
三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．某校王老师根据《海岛算经》中的问题，编了这样一道题：如图，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿北偏东60°方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，在C港口停留0.5小时后再沿东北方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．B岛建有一座灯塔，在灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔，两船看到灯塔的时间相差多少？（精确到分钟，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{2}$≈1.41）
分析 过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设BD=x，在Rt△BCD中根据锐角三角函数的定义求出BC的长，同理可得出AD及AB的长，由AC+CD=AD求出x的值，再分别求出两船看见灯塔的时间即可．
解答 
解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设BD=x，
在Rt△BCD中，
∵∠BCD=45°，
∴BC=$\frac{BD}{sin45°}$=$\sqrt{2}$x．
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=60°，
∴AD=BD•tan60°=$\sqrt{3}$x，AB=$\frac{BD}{cos60°}$=2x．
∵AC=20×1=20，且AC+CD=AD，
∴20+x=$\sqrt{3}$x，解得x=10（$\sqrt{3}$+1），
∴AB=2x=20（$\sqrt{3}$+1），BC=$\sqrt{2}$x=10$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$+1），
∴t甲=（AB-5）÷15=（20$\sqrt{3}$+15）÷15≈3.31（小时）≈3小时19分钟，
t乙=（BC-5）÷20+1.5=[10$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$+1）-5]÷20+1.5≈3.17（小时）≈3小时10分钟，
∴t甲-t乙=10分钟．
答：乙先看到灯塔，时间相差约9分钟．
点评 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
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