Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AB=10，点C是半径OA上的动点（点C与点D、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交射线CD于点F．
（1）若

ED

=

BE

，求∠F的度数；
（2）设线段OC=a，求线段BE和EF的长（用含a的代数式表示）；
（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．

Answer 1

考点：圆的综合题,解一元二次方程-公式法,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）连接OE，易证∠OBE=∠OEB=∠BOE，从而可求出∠OBE的度数，进而可求出∠F的度数．
（2）过点O作OH⊥BE于H，根据垂径定理可得BH=HE=

1

2

BE．易证△OCD≌△BHO，则有OC=BH，从而可求出BE；由OD∥BF可得△COD∽△CBF，然后根据相似三角形的性质可求出BF，从而可求出EF的长．
（3）易证OD平分∠AOE，从而得到点C关于直线OD的对称点P在OE上，则有OP=OC=a，PE=OE-OP=5-a，然后只需分PE=PB、EP=EB、BP=BE三种情况讨论，就可解决问题．

解答：解：（1）连接OE，如图1．
∵

ED

=

BE

，∴∠DOE=∠BOE．
∵OD∥BF，OB=OE，
∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠DOE，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE，
∵∠OBE+∠OEB+∠BOE=180°，
∴3∠OBE=180°，
∴∠OBE=60°．
∵∠BCF=90°，
∴∠F=30°．

（2）过点O作OH⊥BE于H，如图2，
则有BH=HE=

1

2

BE．
在△OCD和△BHO中，

∠OCD=∠BHO ∠COD=∠HBO OD=OB

，
∴△OCD≌△BHO（AAS），
∴OC=BH．
∵OC=a，
∴BE=2BH=2OC=2a．
∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴

OD

BF

=

OC

BC

，
∴

5

BF

=

a

a+5

，
∴BF=

5a+25

a

=5+

25

a

，
∴EF=BF-BE=5+

25

a

-2a．
∴线段BE的长为2a，EF的长为5+

25

a

-2a．

（3）如图3，
∵OD∥BF，OB=OE，
∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠DOE，
∴OD平分∠AOE，
∴点C关于直线OD的对称点P在OE上，
∴OP=OC=a，PE=OE-OP=5-a．
①若PB=PE，
则有∠PBE=∠PEB．
∴∠PBE=∠OBE，
∴点P与点O重合，此时点C也与点O重合，
与条件矛盾，故舍去．
②若EP=EB，
则有5-a=2a，
解得：a=

5

3

．
③若BP=BE，
则∠BPE=∠BEP，
∴∠BPE=∠OBE．
又∵∠BEP=∠OEB，
∴△EPB∽△EBO，
∴

EP

EB

=

EB

EO

，
∴EB²=EO•EP，
∴（2a）²=5（5-a）
整理得：4a²+5a-25=0，
解得：a₁=

-5+5 17

8

，a₂=

-5-5 17

8

（舍去）．
综上所述：当△PBE为等腰三角形时，OC的长为

5

3

或

-5+5 17

8

．

点评：本题主要考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、角的轴对称性等知识，有一定的综合性．而证到△OCD≌△BHO是解决第（2）小题的关键，运用分类讨论的思想方法是解决第（3）小题的关键．