Question

15．已知AB是⊙O的一条弦，点C是优弧$\widehat{AmB}$上一点．
（1）如图①，若点P是弦AB与$\widehat{AmB}$所围成的弓形区域（不含弦AB与$\widehat{AmB}$）内一点．求证：∠APB＞∠ACB；
（2）如图①，若点P在弦AB上方，且满足∠APB=∠ACB，则点P在$\widehat{AmB}$上吗？为什么？
（3）请在图②中直接用阴影部分表示出在弦AB与$\widehat{AmB}$所围成的弓形区域内满足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的点P所在的范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出相应的图形，根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，可以证明结论成立，本题得以解决；
（2）点P在$\widehat{AmB}$上，利用（1）的结论和同（1）的方法即可得出结论；
（3）根据题意和第（1）问，可以画出满足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的点P所在的范围，本题得以解决

解答 （1）证明：如下图②所示，

延长AP交⊙O于点Q，连接BQ．
则∠PQB=∠ACB，
∵∠APB为△PQB的一个外角，
∴∠APB＞∠PQB，
即∠APB＞∠ACB；
（2）解：点P在$\widehat{AmB}$上，
理由：由（1）知，点P是弦AB与$\widehat{AmB}$所围成的弓形区域（不含弦AB与$\widehat{AmB}$）内一点，∠APB＞∠ACB，
同（1）的方法，点P在弦AB上半部分时，利用三角形的外角，得，∠APB＜∠ACB，
∴点P在$\widehat{AmB}$上，
（3）解：

连接AO，BO，延长BO，在BO的延长线上取一点P连接AP，
∵∠AOB是△APO的外角，
∴∠AOB＞∠APB，
∵∠AOB是在⊙O中劣弧AB所对的圆心角，∠ACB是⊙O中劣弧AB所对的圆周角，
∴∠AOB=2∠ACB，
∴点P所在的范围如下图③所示，

点评 此题是圆的综合题，主要考查了三角形的外角的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，解本题的关键是作出辅助线．