Question

5．如图，在?ABCD中，E为BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，点F恰好落在线段DE上．
（1）求证：∠FAD=∠CDE；
（2）当AB=5，AD=6，且tan∠ABC=2时，求线段EC的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和翻折的性质得出∠B=∠ADC，∠B=∠AFE，得出∠AFE=∠ADC，即可得出结论；
（2）过点D作DG⊥BE，交BE的延长线于点G．由平行四边形的性质得出∠2=∠B，∠3=∠EAD，由翻折的性质得出∠B=∠AFE，∠3=∠4，得出∠4=∠EAD．得出ED=AD=6，由三角函数得出DG=2CG，根据勾股定理得出DG²+CG²=CD²，求出CG、DG，再根据勾股定理求出EG，即可得出EC．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，
∵将△BAE沿AE翻折得到△FAE，点F恰好落在线段DE上，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠B=∠AFE，
∴∠AFE=∠ADC，
∵∠FAD=∠AFE-∠1，∠CDE=∠ADC-∠1，
∴∠FAD=∠CDE；
（2）过点D作DG⊥BE，交BE的延长线于点G．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB=5，
∴∠2=∠B，∠3=∠EAD，
由（1）可知，△ABE≌△AFE，
∴∠B=∠AFE，∠3=∠4，
∴∠4=∠EAD，
∴ED=AD=6，
在Rt△CDG中，tan∠2=tan∠ABC=$\frac{DG}{CG}$=2，
∴DG=2CG，
∵DG²+CG²=CD²，
∴（2CG）²+CG²=5²，
∴CG=$\sqrt{5}$，DG=2$\sqrt{5}$，
在Rt△EDG中，
∵EG²+DG²=DE²，
∴EG=4，
∴EC=4-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换、勾股定理；熟练掌握平行四边形和翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．