Question

9．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P₁，此时AP₁=$\sqrt{2}$；将位置①的三角形绕点P₁顺时针旋转到位置②，可得到点P₂，此时AP₂=1+$\sqrt{2}$；将位置②的三角形绕点P₂顺时针旋转到位置③，可得到点P₃，此时AP₃=2+$\sqrt{2}$；…，按此规律继续旋转，直至得到点P₂₀₁₅为止．则AP₂₀₁₅=1343+672$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性质和已知条件得出AP₁=$\sqrt{2}$，AP₂=1+$\sqrt{2}$，AP₃=2+$\sqrt{2}$；AP₄=2+2$\sqrt{2}$；AP₅=3+2$\sqrt{2}$；AP₆=4+2$\sqrt{2}$；AP₇=4+3$\sqrt{2}$；AP₈=5+3$\sqrt{2}$；AP₉=6+3$\sqrt{2}$；每三个一组，由于2013=3×671，得出AP₂₀₁₃，即可得出结果．

解答 解：AP₁=$\sqrt{2}$，AP₂=1+$\sqrt{2}$，AP₃=2+$\sqrt{2}$；
AP₄=2+2$\sqrt{2}$；AP₅=3+2$\sqrt{2}$；AP₆=4+2$\sqrt{2}$；
AP₇=4+3$\sqrt{2}$；AP₈=5+3$\sqrt{2}$；AP₉=6+3$\sqrt{2}$；
∵2015=3×671+2，
∴AP₂₀₁₃=（2013-671）+671$\sqrt{2}$=1342+671$\sqrt{2}$，
∴AP₂₀₁₄=1342+671$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=1342+672$\sqrt{2}$，
∴AP₂₀₁₅=1342+672$\sqrt{2}$+1=1343+672$\sqrt{2}$．
故答案为：1343+672$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；根据题意得出规律是解决问题的关键．