Question

4．有两个直角三角形，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=6，在△DEF中，∠FDE=90°，DE=DF=4．将这两个直角三角形按图1所示位置摆放，其中直角边AC与DF在同一直线l上，且点A与点D重合．现固定△DEF，将△ABC以每秒1个单位长度的速度在l上向右平移，当点C与点F重合时运动停止．设平移时间为t秒．
（1）当t为2秒时，AB边恰好经过点E；当t为7秒时，运动停止；
（2）在△ABC平移过程中，设△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）当△ABC停止运动后，如图2，G为线段DA上一点，若一动点P从点A出发，先沿AG方向运动，到达点G后再沿斜坡GE方向运动到达点E，若该动点P在线段DA上运动的速度是它在斜坡GE上运动速度的2倍，试确定斜坡GE的坡度，使得该动点从点A运动到点E所用的时间最短．（要求，简述确定点G位置的方法，但不要求证明．）

Answer 1

分析 （1）过E作EH∥AB，交l于H，则DH为AB边移动的距离，利用△AHE∽△CAB，求出AH的长，即可求出AB的运动时间；当C与F重合时，C点运动的路为CF，即可求出时间t；
（2）利用相似三角形的知识可分时间段求出S与t之间的函数关系式；
（3）在l的下方作∠DAM=30°，再过点E作EN⊥AM于N，交AD于G，此时运动时间最短．

解答 解：（1）如图1所示，过E作EH∥AB，交l于H，
∵BC⊥AC，ED⊥AC，
∴∠BCA=∠EDH=90°．
∵EH∥AB，
∴∠EHD=∠BAC，
∴△AHE∽△CAB，
∴$\frac{DH}{CA}$=$\frac{ED}{BC}$，即$\frac{DH}{3}$=$\frac{4}{6}$，解得DH=2，
∴当t为2秒时，AB边恰好经过点E．
∵AC=3，DF=4，
∴当t=3+4=7秒时，运动停止．
故答案为：2，7；

（2）如图2，当0＜t≤2时，
∵BC⊥AC，GD⊥AC，
∴$\frac{GD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{GD}{6}$=$\frac{t}{3}$，解得GD=2t，
∴S=$\frac{1}{2}$AD•GD=$\frac{1}{2}$×t×2t=t²；
如图3所示，当2＜t≤3时，
同理可得△GHA∽△BCA，
∴$\frac{GH}{BC}$=$\frac{AH}{AC}$，即$\frac{AH+4-t}{6}$=$\frac{AH}{3}$，解得AH=4-t，
∴GH=2（4-t）=8-2t，
∴S=$\frac{1}{2}$DF•DE-$\frac{1}{2}$AF•GH=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×（4-t）（8-2t）=-t²+8t-8；
如图4所示，当3＜t≤4时，过点G作GH⊥AD，则AF=4-t，
同上可得GH=2（4-t），
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴△CKF也是等腰直角三角形，
∴CK=CF=AC+AF=3+（4-t）=7-t，
∴S=S_△DKF-S_△AFG=$\frac{1}{2}$（7-t）²-（4-t）²=-$\frac{{t}^{2}}{2}$+t+$\frac{17}{2}$；
如图5所示，当4＜t≤7时，S=S△CFG=$\frac{1}{2}$（7-t）²．
综上所示，S=$\left\{\begin{array}{l}{t}^{2}（0＜t≤2）\\-{t}^{2}+8t-8（2＜t≤3）\\-\frac{{t}^{2}}{2}+t+\frac{17}{2}（3＜t≤4）&\\ \frac{1}{2}{（7-t）}^{2}（4＜t＜7）&\end{array}\right.$；

（3）如图6，在l的下方作∠DAM=30°，再过点E作EN⊥AM于点N，交AD于点G，此时运动时间最短，
∴∠AGN=60°，
∴∠EGD=60°，
∴i=$\sqrt{3}$．
设点P在斜坡上运动的速度是v，则在AD上运动的速度是2v，从A到E运动的时间为T，则T=$\frac{AG}{2v}$+$\frac{EG}{v}$=$\frac{\frac{AG}{2}}{v}$+$\frac{EG}{v}$=$\frac{1}{v}$（$\frac{AG}{2}$+EG），
∴作∠DAM=30°，过点E作EN⊥AM，
∴GN=$\frac{AG}{2}$，
∴当EG+GN最小时，时间最短，即点E、G、N共线时，时间最短．

点评 本题考查的是几何变换综合题，在解答（2）时要注意画出图形，利用数形结合求解．