题目内容
4．
如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．（1）求证：$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$；
（2）当四边形HEFG为正方形时，求HE的长；
（3）设HE=x，矩形HEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并求矩形面积的最大值．
分析 （1）根据矩形性质得出HG∥BC，再证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形的性质即可证出；
（2）由△AHG∽△ABC，根据相似三角形的性质列比例式，于是得到结果；
（3）由△AHG∽△ABC，根据相似三角形的性质列比例式，于是得到结论．
解答 （1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$；
（2）解：由（1）证得△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$，
∵四边形HEFG为正方形，
∴HG=HE，
∴$\frac{30-HE}{30}=\frac{HE}{40}$，
解得：HE=$\frac{120}{7}$；
（3）解：由（1）知$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$；
∴$\frac{30-x}{30}=\frac{HG}{40}$，
∴HG=$\frac{120-4x}{3}$，
∴y=x（$\frac{120-4x}{3}$），
即：y关于x的函数解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x2+40x，
∵y=-$\frac{4}{3}$x2+40x=-$\frac{4}{3}$（x-15）2+300，
∴矩形面积的最大值是300cm2．
点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，求二次函数的解析式，二次函数的最大值问题，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．
练习册系列答案
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14．下列命题中是真命题的是（ ）
| A． | 三角形的外角大于它的内角 | |
| B． | 两条边及一个角对应相等的两三角形全等 | |
| C． | 同位角的平分线互相平行 | |
| D． | 位以图形一定是相似图形 |
如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E，F，G，H，若AC=6，BD=12，则四边形EFGH的面积为18．
如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，点E在边AD上，AE：ED=1：3，AC、BE交于点F．
?ABCD中，E在BC上，且CE=2BE，AC与DE相交于F，若S△FEC=8．则S△DFC=12，S△AFD=18．
如图，在Rt△ACB内作边长依次为m、n、p（m＞n＞p）的三个正方形，设BC=a，AC=b．
如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，E是边AD中点，F是边AB上一点（不与点A重合）延长FE交CD的延长线于点G，连接FD，AG．