Question

2．阅读理解：有一个n位自然数$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}…{n_n}}$（n，n₁，n₂，n₃，…n_n是正整数，n≥2，1≤n₁，n₂，n₃，…n_n＜9），若交换不同数位上的数字得到一新数则叫这个n位自然数$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}…{n_n}}$的一个“轮换数”，如：$\overline{{n_2}{n_1}{n_3}…{n_n}}$，$\overline{{n_1}{n_3}{n_2}…{n_n}}$均是$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}…{n_n}}$的一个“轮换数”；36是63的一个“轮换数”，243是324的一个“轮换数”．
（1）写出213的所有轮换数．
（2）证明：任何一个3位自然数$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$与它所有轮换数的和是111的倍数．
（3）试求：4213与它所有轮换数的和．

Answer 1

分析 表示出这个三位自然数，和轮换三位自然数，得到能整除即可．

解答 （1）213的所有“轮换数”为：231，123，132，321，312，
（2）$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$与它所有轮换数的和为：$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$+$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$+$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$+$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$+$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$+$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$，
=2（$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$）．
=2（$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$）×111
$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$是正整数$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$是正整数
所以2（$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$）×111是111的倍数，即任何一个3位自然数$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$与它所有轮换数的和是111的倍数；
（3）当4为首位时，由（1）知，213与213数位轮换共有6种情况，再由（2）运算过程可知，4213与它所有轮换数的和为：
6×（1+2+3+4）×1111=66660．

点评 此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用5的倍数求出b的值．