Question

17．如图，在△ABC中，∠A=30°，D为边AB上的点，且DA=DC=2，若△DCB绕点D逆时针旋转，使DB、DC分别与线段AC相交于M、N，则当△DMN为等边三角形时，DM的长值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 作出图形，过点D作DE⊥AC于E，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=$\frac{1}{2}$AD，再根据等边三角形的性质求解即可．

解答 解：如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵∠A=30°，DA=DC=2，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵△DMN为等边三角形，
∴DM=DE÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，主要利用了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半以及等边三角形的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．