Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．

（1）线段BE与AF的位置关系是　 　，=　 ．

（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣2，求旋转角a的度数．

Answer 1

解：（1）如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直；

∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，

∴AC=2，

∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，

∴=；

故答案为：互相垂直；；

（2）（1）中结论仍然成立．

证明：如图2，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，

∴EC=BC，FC=AC，

∴==，

∵∠BCE=∠ACF=α，

∴△BEC∽△AFC，

∴===，

∴∠1=∠2，

延长BE交AC于点O，交AF于点M

∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2

∴∠BCO=∠AMO=90°

∴BE⊥AF；

（3）如图3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°

∴AB=4，∠B=60°

过点D作DH⊥BC于H

∴DB=4﹣（6﹣2）=2﹣2，

∴BH=﹣1，DH=3﹣，

又∵CH=2﹣（﹣1）=3﹣，

∴CH=DH，

∴∠HCD=45°，

∴∠DCA=45°，

∴α=180°﹣45°=135°．