Question

7．如图，在直角坐标平面上，点A（-3，y₁）在第三象限，点B（1，y₂）在第四象限，线段AB交y轴于点D．若∠AOB=90°，S_△AOD=2，则sin∠AOD•sin∠BOD的值为$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BF⊥x轴于F，易得∠OAC=∠AOD=α，又由∠AOB=90°，易得∠BOF=∠AOD=α，即可得在Rt△AOC中，sinα=$\frac{OC}{OA}$，在Rt△BOF中，cosα=$\frac{OF}{OB}$，又由S_△AOB求得OA•OB的值，继而求得答案．

解答 解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BF⊥x轴于F，
设∠AOD=α，
∴AC∥y轴，
∴∠OAC=∠AOD=α，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOD=90°，
∵∠BOD+∠BOE=90°，
∴∠BOF=∠AOD=α，
在Rt△AOC中，sinα=$\frac{OC}{OA}$，
在Rt△BOF中，cosα=$\frac{OF}{BO}$，
∵S_△AOD=$\frac{1}{2}$OD•OC=2，
∵A（-3，y₁），点B（1，y₂），
∴OC=3，OF=1，
∴OD=$\frac{4}{3}$，
∴S_△BOD=$\frac{1}{2}×$1×$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴S_△AOB=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{8}{3}$，
∴OA•OB=$\frac{16}{3}$，
∴sin∠AOD•sin∠BOD=sinα•cosα=$\frac{OC}{OA}•\frac{OF}{OB}$=$\frac{OC•OF}{OA•OB}$=$\frac{3}{\frac{16}{3}}$=$\frac{9}{16}$，
故答案为：$\frac{9}{16}$．

点评 此题考查了三角函数的定义、直角三角形的性质以及坐标与图形的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．