Question

15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=6，AB=8，BC=10，直线EF从AD出发，始终保持与AD平行，并以每秒1个单位的速度向BC移动，交AB于E，交CD于F，同时点P从C点出发，沿CB方向以每秒2个单位的速度向点B移动．当P点移动到点B时，停止运动，同时直线EF也停止运动，设移动时间为t秒，连接PF、PE，△PEF的面积为S．
（1）当t为何值时，PE∥CD？
（2）试求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）是否存在某一时刻，使△PEF的面积是梯形ABCD面积的$\frac{3}{4}$？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥BC于H，交EF于G，如图，先根据矩形的性质得DG=AE=t，EG=BH=AD=6，DH=AB=8，则CH=BC-BH=4，再证明△DGF∽△DHC，利用相似比得到GF=$\frac{1}{2}$t，则EF=6+$\frac{1}{2}$t，根据平行四边形的判定，由于EF∥PC，则当EF=PC时，四边形EPCF为平行四边形，根据平行四边形的性质有PE∥CD，所以得到6+$\frac{1}{2}$t=2t，然后解方程求出t的值；
（2）由（1）得到EF=6+$\frac{1}{2}$t，BE=8-t，然后根据三角形面积公式求解；
（3）当△PEF的面积是梯形面积的$\frac{3}{4}$时，根据（2）的结论得到-$\frac{1}{4}$t²-t+24=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×（6+10）×8，然后含t一元二次方程的△＜0，即可判定不存在某一时刻，使△PEF的面积是梯形ABCD面积的$\frac{3}{4}$．

解答 解：（1）作DH⊥BC于H，交EF于G，如图，则DG=AE=t，EG=BH=AD=6，DH=AB=8，
所以CH=BC-BH=4，
∵GF∥BC，
∴△DGF∽△DHC，
∴$\frac{GF}{HC}$=$\frac{DG}{DH}$，即$\frac{GF}{4}$=$\frac{t}{8}$，
∴GF=$\frac{1}{2}$t，
∴EF=EG+GF=6+$\frac{1}{2}$t，
∵EF∥PC，
∴当EF=PC时，四边形EPCF为平行四边形，则有PE∥CD，
即6+$\frac{1}{2}$t=2t，解得t=4，
即当t=4时，使PE∥CD；
（2）∵EF=6+$\frac{1}{2}$t，BE=8-t，
∴S=$\frac{1}{2}$•（6+$\frac{1}{2}$t）（8-t）
=-$\frac{1}{4}$t²-t+24（0≤t≤5）；
（3）不存在．
当△PEF的面积是梯形面积的$\frac{3}{4}$时，则-$\frac{1}{4}$t²-t+24=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×（6+10）×8，
整理得t²+4t+96=0，
因为△=4²-4×1×96＜0
所以不存在某一时刻，使△PEF的面积是梯形ABCD面积的$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质、等腰直角三角形的判定和平行四边形的判定与性质；会利用相似比和三角形面积公式进行计算．