Question

16．四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AD=8，EB、EC是⊙O的两条，切点分别为B、C，P是边AB上的动点，连接DP．
（1）如图1，当点P与点B重合时，连接OC．
①求∠E的度数；
②求CE的长度；
（2）如图2，当点P在AB上，且AP＜$\frac{1}{2}$AB时，过点P作FP⊥DP于点P，交BE于点F，连接DF．
①试判断DP与FP之间的数量关系，并说明理由；
②若$\frac{BD}{DF}=\frac{10}{11}$，求DP的长度．

Answer 1

分析 （1）①根据切线的性质和正方形的性质，即可得到四边形OBEC的三个直角，随后即可求解；
②在等腰直角三角形BCE中运用勾股定理即可求出CE长度；
（2）①在AD上截取AM=AP，证明△DMP≌△PBF，即可得出结论；
②通过证明等腰直角三角形DPF∽等腰直角三角形ABD，即可求解．

解答 解：（1）如图1

①∵EB、EC是⊙O的两条切线，
∴∠OCE=∠OBE=90°，
由四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
可知，∠BOC=90°，
∴∠E=90°；
∵EB、EC是⊙O的两条切线，
∴EB=EC，
在直角三角形BEC中，
设EB=EC=x，由勾股定理得：x²+x²=8²，
解得：x=$4\sqrt{2}$，
∴CE=$4\sqrt{2}$；
（2）如图2

在AD上截取AM=AP，由∠A=90°可求∠AMP=∠APM=45°，
∴∠PMD=135°，
∵AD=AB，
∴MD=BP，
由（1）②知三角形BEC是等腰直角三角形，
∴∠CBE=45°，
∴∠PBF=135°，
∴∠PMD=∠PBF，
又可求：∠BPF+∠BFP=45°，
∵FP⊥DP，
∴∠MPD+∠BPD=45°，
∴∠MPD=∠BFP，
在△MPD和△BFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPD=∠BFP}\\{∠PMD=∠PBF}\\{MD=BP}\end{array}\right.$，
∴△MPD≌△BFP，
DP=FP；
②由（2）①知，△DPF为等腰直角三角形，
又△DAB是等腰直角三角形，
∴△DPF∽△DAB，
∴$\frac{BD}{DF}=\frac{AD}{DP}$，
∵$\frac{BD}{DF}=\frac{10}{11}$，AD=8，
可求：DP=$\frac{44}{5}$．

点评 此题主要考查圆的综合问题，涉及到了正方形的相关性质，会运用切线性质和切线长定理，会构造全等与相似是解题的关键．