Question

9．如图，⊙O是∠EPF的平分线上一点，以点O圆心的圆与角的两边分别交于点A，B和点C，D，角平分线PO和⊙O交于点G，H，有下列结论：①AB=CD；②$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$；③PB=PD；④PA=PC．其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 过O作OM⊥PB于M，ON⊥PD于N．根据角平分线的性质可知OM=ON，根据垂径定理求得AB=CD，BM=AM=$\frac{1}{2}$AB，ND=CN=$\frac{1}{2}$CD，再利用全等三角形的性质证明PM=PN，进而即可证明PB=PD，PA=PC．

解答 证明：过O作OM⊥PB于M，ON⊥PD于N．
∵OP平分∠EPF，
∴OM=ON，
∴AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
在Rt△POM和Rt△PON中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），
∴PM=PN，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴BM=AM=$\frac{1}{2}$AB，ND=CN=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB=CD，
∴BM=DN=AM=CN，
∴PM+BM=PN+DN，PM-AM=PN-CN，
∴PB=PD，PA=PC．
故①AB=CD；②$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$；③PB=PD；④PA=PC都正确，
故选D．

点评 本题考查了角的平分线的性质、垂径定理和三角形全等的判定和性质；角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在同圆中两弦的弦心距相等，则弦长相等．