Question

9．如图，?ADEF两边AD、AF向外作等边△ADB、△AFC，连接EB、EC、BC．
（1）求证：△BDE≌△EFC；
（2）猜想：△EBC是等边三角形三角形，并对你的猜想加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据SAS即可证明．
（2）由DE∥AF，推出∠6+∠4+∠1+∠8=180°，在△BDE中，根据内角和定理可知：∠5+∠3+∠2+∠8=180°，只要证明∠6=∠5，∠4=∠3，即可推出∠1=∠2=60°，由此即可证明．

解答 （1）证明：∵△ADB、△AFC都是等边三角形，
∴BD=AD，∠2=∠7=60°，CF=AF，
∵四边形DEFA是平行四边形，
∴AD=EF，AF=DE，∠5=∠6，
∴∠2+∠5=∠6+∠7，即∠BDE=∠EFC，
∴BD=EF，DE=FC，
在△EDB和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=CF}\\{∠EDB=∠EFC}\\{DB=FE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△EFC．

（2）解：∵△BDE≌△EFC，
∴BE=EC，∠3=∠4，
∵DE∥AF，
∴∠6+∠4+∠1+∠8=180°，
在△BDE中，根据内角和定理可知：∠5+∠3+∠2+∠8=180°，
∵∠6=∠5，∠4=∠3，
∴∠1=∠2=60°，∵BE=EC，
∴△EBC是等边三角形．

点评 本题考查平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．