Question

14．如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E，已知CD⊥BE，CD=3、BE=5，求BC+DE的值．小明发现：过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算可以解决．
如图①
（1）BC+DE=$\sqrt{34}$；
（2）利用小明的方法写出推理过程
（3）参考小明的方法解决下列问题
如图②，已知?ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，FD=FB，且∠BFD=30°，∠EBF=60°，判断AC与DF的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，求出DE=CF，DC=EF，由DC⊥BE，四边形DCFE是平行四边形，可得Rt△BEF，求出BF的长，证明BC+DE=BF；
（2）连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等腰直角三角形，求出AC=$\sqrt{2}$CE，求出DF=CE，即可得出答案．

解答 （1）解：∵DE∥BC，EF∥DC，
∴四边形DCFE是平行四边形．
∴DE=CF，DC=EF，
∴BC+DE=BC+CF=BF．
∵DC⊥BE，DC∥EF，
∴∠BEF=90°．在Rt△BEF中，
∵BE=5，CD=3，
∴BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{34}$
∴BC+DE=$\sqrt{34}$，
故答案为：$\sqrt{34}$；

（2）AD=$\sqrt{2}$DF，
证明：连接AE，CE，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB∥FE，BF=AE．
∴DC∥FE．
∴四边形DCEF是平行四边形．
∴CE=DF，
∵四边形ABEF是矩形，
∴BF=AE，
∵BF=DF，
∴DF=CE，
∵四边形ABEF是矩形，
∴AF=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
在△FAD和△EBC中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{AF=BE}\\{DF=CE}\end{array}\right.$
∴△FAD≌△EBC（SSS），
∴∠AFD=∠BEC，
∵四边形ABEF是矩形，
∴∠FEB=∠EFA=90°，
∵∠EBF=60°，∠BFD=30°，
∴∠DFA=90°-30°-（90°-60°）=30°，
∴∠CEB=30°，
∵四边形ABEF是矩形，
∴OE=OB，
∵∠EBF=60°，
∴∠BEA=∠EBF=60°，
∴∠AEC=60°+30°=90°，
即△AEC是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$CE，
∵DF=CE，
∴AC=$\sqrt{2}$DF．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．连接AE、CE构造等边三角形是关键，题目比较好，难度偏大．