Question

17．已知抛物线y=ax²+bx+c的图象如图所示．
（1）判断a、b、c及b²-4ac、a-b+c的符号；
（2）求a+b+c的值；
（3）下列结论：①b＜1，②b＜2a，③a＞$\frac{1}{2}$，④a+c＜1，⑤-a-b+c＜0，其中正确的有②③④⑤，请说明理由．

Answer 1

分析 由二次函数的图象，很容易判断a、b、c的符号，根据图象与x轴有两个交点，知道b²-4ac＞0；由图象可知a-b+c的符号与a+b+c的值；再根据图象和a、b、c之间的关系进行巧妙变换得到（3）中结论正确与否．

解答 解：（1）∵图象开口向上∴a＞0；
∵-$\frac{b}{2a}$＜0，a＞0∴b＞0；
∵图象与y轴交于负半轴∴c＜0；
∵图象与x轴有两个交点∴b²-4ac＞0；
令x=-1，则y=a-b+c，由图象可知，x=-1时，y＜0，故a-b+c＜0．
由上可知：a＞0，b＞0，c＜0，b²-4ac＞0，a-b+c＜0．
（2）令x=1，则y=a+b+c，由图象可知，x=1时，y=2，故a+b+c=2．
（3）∵a-b+c＜0，a+b+c=2   
∴a+c＜b，a+c=2-b
∴2-b＜b
∴b＞1，则①错误；
∵-$\frac{b}{2a}$＞-1，a＞0
∴b＜2a，则②正确；
∴a＞$\frac{b}{2}$
又∵b＞1
∴a＞$\frac{1}{2}$，则③正确；
∵a+b+c=2，b＞1
∴a+c=2-b＜1，则④正确；
∵a+b+c=2，c＜0
∴a+b=2-c＞2＞c
∴，-a-b+c＜0，则⑤正确．
故答案为：②③④⑤．

点评 本题考察二次函数的图象与系数之间的关系，会利用图象给出的信息，对一些式子进行判断正误．