Question

18．如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：
（1）∠PBC=∠CBD；
（2）BC²=AB•BD．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由PC为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PC，再由BD垂直于PD，得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC与BD平行，进而得到一对内错角相等，再由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用圆周角定理得到∠ACB为直角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形CBD相似，利用相似三角形对应边成比例，变形即可得证．

解答 证明：（1）连接OC，
∵PC与圆O相切，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵BD⊥PD，
∴∠BDP=90°，
∴∠OCP=∠PDB，
∴OC∥BD，
∴∠BCO=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠PBC=∠BCO，
∴∠PBC=∠CBD；
（2）连接AC，
∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∵∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{AB}{BC}$，
则BC²=AB•BD．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．