Question

13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=BD=10cm，点P由
点B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向以相同的速度匀速运动，交BD于点Q，连结PE、PF，若设运动时间为t （s）（0＜t≤5s）．
（1）填空：PD=（10-t）cm （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，P与Q的重合？
（3）在整个运动的过程中，以P、F、C、D、E为顶点的多边形的面积是否发生变化，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用BC=BD=10cm，点P由点B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s，即可表示出PD的长；
（2）当E、P、F三点在同一条直线上时，P与Q的重合，根据BP=BF，得出10-t=t，进而得出t的值；
（3）根据DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，判定△PDE≌△FBP（SAS），再根据S_{五边形PFCDE}=S_△PDE+S_{四边形PFCD=}S_△FBP+S_{四边形PFCD}=S_△BCD，即可得出在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．

解答 解：（1）∵点P由点B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s，
∴BP=t，
又∵BC=BD=10cm，
∴PD=10-t；
故答案为：10-t；

（2）当E、P、F三点在同一条直线上时，点P与点Q重合，如图2，
∵BC=BD
∴∠C=∠BDC
∵EF∥DC
∴∠BFQ=∠C，∠BQF=∠BDC
∴∠BFQ=∠BQF，
∴BP=BF，
又∵CF∥DE，EF∥CD，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴CF=DE=t，
∴BF=10-t，
∴BP=10-t，
由（1）可得，BP=t，
∴10-t=t，
解得t=5（符合题意）；

（3）五边形PFCDE的面积不发生变化，理由如下：
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，AD∥BC，
∴∠PDE=∠FBP，
在△PDE与△FBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=BP}\\{∠PDE=∠FBP}\\{PD=BF}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△FBP（SAS）．
∴S_{五边形PFCDE}=S_△PDE+S_{四边形PFCD=}S_△FBP+S_{四边形PFCD}=S_△BCD．
∵S_△BCD不变，
∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质的综合应用．利用全等三角形的性质得出S_△PDE=S_△FBP是解第（3）问的关键．