Question

18．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E，F分别在AB，BC上，将△BEF沿EF折叠，点B落在AD上的点G处，EG⊥AC．
（1）∠BEF=75°，∠BFG=90°．
（2）若AB=6$\sqrt{2}$，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质得出∠BEF=∠GEF，∠BFE=∠GFE，再利用三角形内角和解答即可；
（2）首先证明△ABC，△ADC都是等边三角形，再证明FG是菱形的高，根据2•S_△ABC=BC•FG即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠AGE=30°，
∵∠B=∠EGF=60°，
∵将△BEF沿EF折叠，
∴∠BEF=∠GEF=$\frac{1}{2}（180°-30°）=75°$，
∴∠BFE=∠GFE=180°-60°-75°=45°，
∴∠BFG=90°，
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠AGE=30°，
∵∠B=∠EGF=60°，
∴∠AGF=90°，
∴FG⊥BC，
∴2•S_△ABC=BC•FG，
∴2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（6$\sqrt{2}$）²=6$\sqrt{2}$•FG，
∴FG=3$\sqrt{6}$，
故答案为：75°；90°．

点评 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、翻折变换、菱形的面积等知识，关键是记住菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．