Question

如图，直线y=2x+m（m＞0）与x轴交于点A（-2，0），直线y=-x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m（m＞0）相交于点D，若AB=4．
（1）求点D的坐标；
（2）求出四边形AOCD的面积；
（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：计算题

分析：（1）先把A点坐标代入y=2x+m得到m=4，则y=-2x+4，再利用AB=4可得到B点坐标为（2，0），则把B点坐标代入y=-x+n可得到n=2，则y=-x+2，然后根据两直线相交的问题，通过解方程组

y=-x+2 y=2x+4

得到D点坐标；
（2）先确定C点坐标为（0，2），然后利用四边形AOCD的面积=S_△DAB-S_△COB进行计算即可；
（3）先利用A、C两点的坐标特征得到△ACO为等腰直角三角形，AC=2

2

，然后分类讨论：当AE=AC=2

2

时，以A点为圆心，2

2

画弧交x轴于E₁点和E₂点，再写出它们的坐标；当CE=CA时，E₃点与点A关于y轴对称，即可得到它的坐标；当EA=EC时，E₄点为坐标原点．

解答：解：（1）把A（-2，0）代入y=2x+m得-4+m=0，解得m=4，
∴y=-2x+4，
∵AB=4，A（-2，0），
∴B点坐标为（2，0），
把B（2，0）代入y=-x+n得-2+n=0，解得n=2，
∴y=-x+2，
解方程组

y=-x+2 y=2x+4

得

x=- 2 3 y= 8 3

，
∴D点坐标为（-

2

3

，

8

3

）；
（2）当x=0时，y=-x+2=2，
∴C点坐标为（0，2），
∴四边形AOCD的面积=S_△DAB-S_△COB
=

1

2

×4×

8

3

-

1

2

×2×2
=

10

3

；
（3）∵A（-2，0），C（0，2），
∴AC=2

2

，
当AE=AC=2

2

时，E₁点的坐标为（2

2

-2，0），E₂点的坐标为（-2

2

-2，0）；
当CE=CA时，E₃点的坐标为（2，0），
当EA=EC时，E₄点的坐标为（0，0），
综上所述，点E的坐标为（2

2

-2，0）、（-2

2

-2，0）、（2，0）、（0，0）．

点评：本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了分类讨论思想的运用．