如图所示.已知在直角梯形OABC中.AB∥OC.BC⊥x轴于点C.A.动点P从点O出发.沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA.垂足为Q.设P点移动的时间为t秒.△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．(1)求经过O.A.B三点的抛物线的解析式,(2)若点E在BC的延长线上.求S与t的函数关系式,(3)将△OPQ绕着点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1），B（3，1），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；
（2）若点E在BC的延长线上，求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx，把已知坐标代入求出抛物线的解析式；（方法一：设成顶点式，方法二：设成一般式）；
（2）根据旋转的性质，代入解析式，判断是否存在；
（3）求出S的面积，根据t的取值不同分三种情况讨论S与t的函数关系式．

解答解：（1）方法一：∵A（1，1），B（3，1），
∴抛物线的对称轴是直线x=2．
设抛物线解析式为y=a（x-2）²+h（a≠0）
把O（0，0），A（1，1）代入
得$\left\{\begin{array}{l}{a（0-2）^{2}+h=0}\\{a（1-2）^{2}+h=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{h=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴所求抛物线解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+$\frac{4}{3}$．

方法二：由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为y=ax²+bx（a≠0）．
把A（1，1），B（3，1）代入上式得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{9a+3b=1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．
∴所求抛物线解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x．
（2）分三种情况：
①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S_△OPQ，
如图1，

过点A作AF⊥x轴于点F，
∵A（1，1），
∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=t×cos 45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
∴S=$\frac{1}{2}$PQ²=$\frac{1}{4}$t²，
②当2＜t≤3，
如图2，

设PQ交AB于点G，作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，
则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S_梯形OAGP．
∴AG=FH=t-2，
∴S=$\frac{1}{2}$（AG+OP）×AF=$\frac{1}{2}$（t+t-2）×1=t-1．
③当3＜t＜4，
如图3，

设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S_{五边形OAMNC}．
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重叠部分的面积是S_{五边形OAMNC}=S_梯形OABC-S_△BMN．
∵B（3，1），OP=t，
∴PC=CN=t-3，
∴S=$\frac{1}{2}$（2+3）×1-$\frac{1}{2}$（4-t）²，
S=-$\frac{1}{2}$t²+4t-$\frac{11}{2}$．

（3）存在．
当O点在抛物线上时，将O（t，t）代入抛物线解析式，解得t=0（舍去），t=1；
当Q点在抛物线上时，Q（$\frac{3}{2}$t，$\frac{1}{2}$t）代入抛物线解析式得t=0（舍去），t=2．
故t=1或2．