Question

8．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC=3，BC=3$\sqrt{3}$，求弧$\widehat{AB}$的长．

Answer 1

分析 （1）运用垂径定理证明$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，借助圆周角定理的推论即可解决问题；
（2）连接OB，根据勾股定理求出OA的长，再由锐角三角函数的定义求出∠AOC的度数，根据弧长公式即可得出结论．

解答 解：（1）∵OD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠DEB=$\frac{1}{2}$=26°，即∠DEB的度数为26°；

（2）连接OB，
∵OD⊥AB，BC=3$\sqrt{3}$，
∴AC=BC=3$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6，tan∠AOC=$\frac{AC}{OC}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
∴$\widehat{AB}$=$\frac{120π×3}{180}$=4π．

点评 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．