Question

16．设a＜b＜c＜d，求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x的取值．

Answer 1

分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用|x-a|，|x-b|，|x-c|，|x-d|的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．

解答 解：设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，
则|x-a|表示线段AX之长，
同理，|x-b|，|x-c|，|x-d|分别表示线段BX，CX，DX之长．
现要求|x-a|，|x-b|，|x-c|，|x-d|之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．
因为a＜b＜c＜d，
所以A，B，C，D的排列应如图所示：

所以当X在B，C之间，即b＜x＜c时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，
即（d-a）+（c-b）．

点评 考查了绝对值，以上分别用两种不同的方法即几何方法和代数方法进行求解．通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．