Question

2．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/秒的速度移动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发．设移动的时间为t．
求：（1）t为何值时，梯形PQCD是等腰梯形；
（2）t为何值时，AB的中点E到线段PQ的距离为7cm．

Answer 1

分析 （1）过P作PN⊥BC于N，过D作DM⊥BC于M，先证明四边形ABMD是矩形，从而得到AD=BM，再根据边与边之间的关系，列一元一次方程3t-21=3，得到t=8，即t=8秒时，梯形PQCD是等腰梯形；
（2）在Rt△PQM中，表示出PM=14，QM=3t-1，然后根据PM²+QM²=PQ²，得到14²+（3t-21）²=（21-t）²，求得t值即可．

解答 解：如图1，过P作PN⊥BC于N，过D作DM⊥BC于M，
∵AD∥BC，∠B=90°，DM⊥BC，
∴四边形ABMD是矩形，AD=BM．
∴MC=BC-BM=BC-AD=3．
又∵QN=BN-BQ=AP-BQ=t-（21-2t）=3t-21．
若梯形PQCD为等腰梯形，则QN=MC=3．
得3t-21=3，t=8，
即t=8秒时，梯形PQCD是等腰梯形．

（2）如图2，过E作EF⊥PQ于F，连接PE，EQ，当EF=7cm时，
∵AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×14=7cm，
∴AE=EF=BE，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∵PE=PE，EQ=EQ，
∴△AEP≌△FEP，△BEQ≌△FEQ，
∴PA=PF=t，BQ=FQ=21-2t，
∴PQ=PF+FQ=21-t，
在Rt△PQM中，PM=14，QM=3t-1，
∵PM²+QM²=PQ²，
∴14²+（3t-21）²=（21-t）²，
解得：t=3.5或t=7，
∴当t为3.5或7时，AB的中点E到线段PQ的距离为7cm．

点评 此题主要考查了等腰梯形以及直角梯形和平行四边形的判定与性质，熟练掌握它们的定义是解题关键．