如图甲.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A.点B.与y轴交于点C.其顶点为D.已知AB=4.∠OBC=45°.tan∠OAC=3．(1)求该抛物线的解析式．(2)连接DB.DC.求证:sin=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,(3)如图乙.E.F分别是线段AC.BC上的点.以EF所在直线为对称轴.把△CEF作轴对称变换得△C′EF.点C′恰好在x轴上.当C′E⊥AC时.①求EF的长,②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如图甲，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A、点B（点B在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，其顶点为D，已知AB=4，∠OBC=45°，tan∠OAC=3．
（1）求该抛物线的解析式．

（2）连接DB，DC，求证：sin（∠OBD-∠OCA）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）如图乙，E、F分别是线段AC、BC上的点，以EF所在直线为对称轴，把△CEF作轴对称变换得△C′EF，点C′恰好在x轴上，当C′E⊥AC时，
①求EF的长；
②在平面直角坐标系内是否存在点P，使得以E、F、C′、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）设OA=m．由tan∠OAC=3，得出OC=3OA=3m，由△OBC是等腰直角三角形得出OB=OC=3m，根据AB=OA+OB=4m=4，求出m=1，得到A（-1，0），B（3，0），C（0，3），再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用配方法求出抛物线的顶点D的坐标，再计算得出BC²+CD²=BD²，根据勾股定理的逆定理得到∠DCB=90°，由tan∠CDB=3，得到∠CDB=∠OAC，根据等角的余角相等得出∠CBD=∠OCA，那么sin（∠OBD-∠OCA）=sin∠OBC=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）①根据折叠的性质得出CE=C′E，设AE=n，由tan∠OAC=3，得到CE=C′E=3n，那么CE=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，再证明△CEF∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例求出EF=$\sqrt{5}$；
②先由△CEF∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例求出CF=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，那么求出F（$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{4}$），E（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），再由△C′EA∽△COA，求出C′A=$\frac{5}{2}$，那么C′（$\frac{3}{2}$，0），然后根据平行四边形的对角线互相平分求得点P的坐标．

解答解：（1）设OA=m．
∵tan∠OAC=3，
∴OC=3OA=3m，
∵∠OBC=45°，∠COB=90°，
∴∠OCB=45°，
∴OB=OC=3m，
∴AB=OA+OB=4m=4，即m=1，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设经过A、B、C三点的抛物线为y=a（x+1）（x-3），
将（0，3）代入上式，得3=-3a，解得a=-1，
∴该抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D为（1，4），
∵B（3，0），C（0，3），
∴CD=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠DCB=90°，且tan∠CDB=3，
∴∠CDB=∠OAC，即∠CBD=∠OCA，
∴sin（∠OBD-∠OCA）=sin（∠OBD-∠CBD）=sin∠OBC=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（3）①由题意可得CE=C′E，设AE=n．
∵tan∠OAC=3，
∴CE=C′E=3n，即CE=$\frac{3}{4}$AC=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$．
∵∠CEF=∠CBA=45°，∠ECF=∠BCA，
∴△CEF∽△CBA，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CE}{BC}$，即$\frac{EF}{4}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{4}}{3\sqrt{2}}$，
∴EF=$\sqrt{5}$；

②∵△CEF∽△CBA，
∴$\frac{CF}{CA}$=$\frac{CE}{BC}$，即$\frac{CF}{\sqrt{10}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{4}}{3\sqrt{2}}$，
∴CF=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴F（$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{4}$），E（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），
∵△C′EA∽△COA，
∴$\frac{C′A}{CA}$=$\frac{C′E}{CO}$，$\frac{C′A}{\sqrt{10}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{4}}{3}$，
∴C′A=$\frac{5}{2}$，
∴C′（$\frac{3}{2}$，0）．
以E、F、C′、P为顶点的四边形为平行四边形时，分两种情况进行讨论：
Ⅰ）EF为对角线时，C′P与EF的中点重合，则点P的坐标为（-1，$\frac{5}{2}$）；
Ⅱ）EF为边时，如果FP与C′E的中点重合，则点P的坐标为（-$\frac{1}{2}$，-1）；如果EP与C′F的中点重合，则点P的坐标为（$\frac{7}{2}$，1）．
综上所述，点P的坐标为（-1，$\frac{5}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，-1），（$\frac{7}{2}$，1）．