Question

2．如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂足分别为点E、F，若AE=1，CF=2，求正方形的面积．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出AB=BC=CD=DA，∠ABC=90°，得出∠CBF+∠ABE=90°，证出∠BAE=∠CBF，由AAS证明△BFC≌△AEB，得出BF=AE=1，再根据勾股定理求出BC²，即可得出正方形的面积．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=90°，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∵AE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△BFC和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFB=∠AEB}&{\;}\\{∠CBF=∠BAE}&{\;}\\{BC=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BFC≌△AEB（AAS），
∴BF=AE=1，
∴BC²=BF²+CF²=1²+2²=5，
∴S_{正方形ABCD}=BC²=5．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及正方形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．