题目内容

（10分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止．设移动的时间为t秒．

（1）当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；

（2）求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；

（3）在P，Q移动过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；

（1）3.75；（2）S=PCQE=-t2+3t（0<t<5）；（3）当t=秒（此时PC=QC），秒（此时PQ=QC），或秒（此时PQ=PC）△CPQ为等腰三角形；

【解析】

试题分析：（1）过点P作PD⊥BC于D，求出AP=2.5，再利用相似求出CQ边上的高就可以求面积；

（2）先表示出PC、CQ，再利用Rt△QEC∽Rt△ABC求出PC边上的高就可以求面积；

（3）分PC=PQ、PC=CQ、PQ=CQ三种情况求解即可.

试题解析：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米

由题意得：AP=2t，CP=10-2t , CQ=t

（1）∵t=2.5，AP=2×2.5=5，QC=2.5

过点P作PD⊥BC于D

∴∠B=∠PDC=90°

又由∠C=∠B

∴ Rt△ABC∽Rt△PDC，∴PD=AB=3，

∴S=×QC×PD=3.75

（2） 过点Q作QE⊥PC于点E

在Rt△QEC和Rt△ABC中

∵ ∠C=∠C ∠QEC=∠B

∴ Rt△QEC∽Rt△ABC，

∴，

QE=

∴S=PCQE=（10-2t） t=-t2+3t（0<t<5）

（3）当t=秒（此时PC=QC），秒（此时PQ=QC），或秒（此时PQ=PC）△CPQ为等腰三角形；

考点：相似三角形的性质的应用.

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