Question

2．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=$\frac{4}{x}$（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=$\frac{k^2}{x}$（x＞0，k＜0）的图象于点B，BC⊥x轴，若S_△ABC=$\frac{15}{2}$，则k的值是-3．

Answer 1

分析 设点A的坐标为（m，$\frac{4}{m}$），直线AB经过点A，可得直线AB的表达式为y=$\frac{4}{{m}^{2}}$x．直线AB与函数y=$\frac{k^2}{x}$一个交点为点B，则可求得点B的坐标为（-$\frac{1}{2}$mk，-$\frac{2k}{m}$），根据S_△ABC=$\frac{15}{2}$，可得方程$\frac{1}{2}$×（-$\frac{2k}{m}$）×（-$\frac{1}{2}$mk+|m|）=$\frac{15}{2}$，求出k的值．

解答 解：设A（m，$\frac{4}{m}$）（m＜0），直线AB的解析式为y=ax（k≠0），
∵A（m，$\frac{4}{m}$），
∴ma=$\frac{4}{m}$，解得a=$\frac{4}{{m}^{2}}$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{4}{{m}^{2}}$x．
∵AO的延长线交函数y=$\frac{k^2}{x}$的图象于点B，
∴B（$\frac{1}{2}$mk，$\frac{2k}{m}$），
∵△ABC的面积等于$\frac{15}{2}$，CB⊥x轴，
∴$\frac{1}{2}$×（$\frac{2k}{m}$）×（$\frac{1}{2}$mk+|m|）=$\frac{15}{2}$，
∴解得k₁=5（舍去），k₂=-3，
即k的值是-3．
故答案为：-3．

点评 本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，根据题意得出直线AB的解析式，再用m和k表示出B点坐标是解答此题的关键．解题时注意，△ABC的面积也可以看成△BOC与△AOC的面积之和．