Question

6．如图1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC交OA于D．
（1）求证：AB=AD；
（2）如图2，当∠BAC绕顶点A顺时针旋转时，角的两边分别与直线OB、OC交与点B₁和点C₁，连接B₁C₁交OA于点P，B₁D平分∠OB₁C₁交OA于D，过D作DE⊥B₁C₁，垂足为E
求证：①△B₁BA≌△C₁CA；②OB=$\frac{1}{2}$B₁C₁+DE；
（3）在（2）的条件下，若B₁E=6，C₁E=4，求正方形ABOC的边长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠ABD=∠ADB即可；
（2）①有旋转的性质得出∠B₁AB=∠C₁AC，即可；
②利用相似三角形即可证明；
（3）根据（2）②中条件求出点D和点的B₁坐标，代入即可求出直线B₁D的解析式

解答 解：（1）∵OA，BC是四边形ABCD是正方形对角线，
∴∠OAB=∠OBC=∠OAB=45°，
∵BD平分∠OBC，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠OBC=22.5°，
∴∠ABD=67.5°，
∴∠ADB=67.5°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
（2）①由旋转得，∠B₁AB=∠C₁AC，
∵AB=AC，∠ABB₁=∠QCC₁=90°，
∴△B₁BA≌△C₁CA；
②如图2，

过点D作DF⊥OB于F．
∵∠BAC=∠B₁AC₁=90°，
∴∠B₁AB=∠C₁AC．
又∵AB=AC，∠B₁BA=∠C₁CA=90°，
∴△B₁BA≌△C₁CA（ASA），
∴B₁A=C₁A，
∴AB₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$B₁C₁．
∵∠B₁DA=∠AOB+∠OB₁D=45°+∠OB₁D，
∠DB₁A=∠DB₁C₁+∠AB₁C₁=45°+∠DB₁C₁，
∵∠OB₁D=∠DB₁C₁，
∴∠B₁DA=∠DB₁A，
∴AD=AB₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$B₁C₁，
∴OD=$\sqrt{2}$DF=$\sqrt{2}$DE且AO=$\sqrt{2}$OB，
∴AD+OD=$\sqrt{2}$OB，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$B₁C₁+$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$OB，
∴OB=$\frac{1}{2}$B₁C₁+DE．
（3）∵B₁E=6，C₁E=4，
∴B₁C₁=B₁E+C₁E=10，
由（2）②得OB=5+DE=5+DF，
∴BF=5．
∵B₁F=B₁E=6，
∴B₁B=1，AB₁=5$\sqrt{2}$，
∴AB=OB=7，
∴正方形ABOC的边长为7．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出OB=$\frac{1}{2}$B₁C₁+DE．