Question

如图，对称轴为x=2的抛物线y=ax²+bx（a≠0）与x轴交于原点O与点A，与反比例函数y=

b

x

(x＞0)交于点B，过点B作x轴的平行线，交y轴于点C，交反比例函数y=

a

x

于点D，连接OB、OD．则下列结论中：
①ab＞0；      ②方程ax²+bx=0的两根为0和4；
③3a+b＜0；    ④tan∠BOC=4tan∠COD
正确的有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：①由反比例函数y=

b

x

(x＞0)在第一象限，反比例函数y=

a

x

在第二象限，可得b＞0，a＜0，即可判定ab＜0；
②由对称轴为x=2的抛物线y=ax²+bx（a≠0）与x轴交于原点O与点A，即可求得点A的坐标，继而求得方程ax²+bx=0的两根为0和4；
③由将A（4，0）代入抛物线y=ax²+bx得：16a+4b=0，可得b=-4a，即可判定3a+b=3a-4a=-a＞0；
④由③易得tan∠BOC=4tan∠COD．

解答：解：①∵反比例函数y=

b

x

(x＞0)在第一象限，反比例函数y=

a

x

在第二象限，
∴b＞0，a＜0，
∴ab＜0，故①错误；
②∵对称轴为x=2的抛物线y=ax²+bx（a≠0）与x轴交于原点O与点A，
∴点A（4，0），
∴方程ax²+bx=0的两根为0和4；故②正确；
③将A（4，0）代入抛物线y=ax²+bx得：16a+4b=0，
∴b=-4a，
∴3a+b=3a-4a=-a＞0；故③错误；
④∵点B与D纵坐标相等，
∴设点B（

b

y

，y），点D（

a

y

，y），
∴tan∠BOC=

BC

OC

=

b

y2

，tan∠COD=-

a

y2

，
∵b=-4a，
∴tan∠BOC=4tan∠COD．故④正确．
故选C．

点评：此题考查了反比例函数的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．