Question

如图1，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置如图2，其中A′C交直线OA于点E，A′B′分别交直线OA、CA于点F、G，当△COE的面积为

3

时，则图象过点B′的反比例函数表达式为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：过E作EM⊥x轴，过B′作B′N⊥x轴，在直角三角形AOC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，根据OA的长求出OC的长，由三角形OCE的面积求出EM的长，在直角三角形EOM中，利用锐角三角函数定义求出OE=2，得到OE=OC，进而确定出三角形EOC为等边三角形，确定出∠B′CN=30°，在直角三角形B′CN中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出B′N的长，利用勾股定理求出CN的长，由OC+CN求出ON的长，表示出B′坐标，设过点B′的反比例函数表达式为y=

k

x

，将B′坐标代入求出k的值，即可确定出过点B′的反比例函数表达式．

解答：解：过E作EM⊥x轴，过B′作B′N⊥x轴，
在Rt△AOC中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，∠AOC=60°，
∵S_△COE=

1

2

OC•EM=

1

2

×2EM=

3

，
∴EM=

3

，
在Rt△OEM中，∠EOM=60°，EM=

3

，
∴OE=

EM

sin60°

=2，
∵OC=OE=2，且∠AOC=60°，
∴△EOC为等边三角形，
∴∠ECO=60°，
∵∠A′CB′=90°，
∴∠B′CN=30°，
∵△A′CB′≌△ACO，
∴B′C=OC=2，
在Rt△B′CN中，B′N=

1

2

B′C=1，
根据勾股定理得：NC=

22-12

=

3

，
∴ON=OC+CN=2+

3

，
∴B′（-2-

3

，1），
设过点B′的反比例函数表达式为y=

k

x

，
将B′坐标代入得：k=-2-

3

，
则过点B′的反比例函数表达式为y=-

2+ 3

x

．
故答案为：y=-

2+ 3

x

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．