Question

6．设α、β是方程（x+1）（x-4）=-5的两实数根，则$\frac{{β}^{3}}{α}+\frac{{α}^{3}}{β}$=47．

Answer 1

分析 根据α、β是方程（x+1）（x-4）=-5的两实数根，得到α+β=3，αβ=1，根据完全平方公式得到α⁴+β⁴=47，于是得到结论．

解答 解：方程（x+1）（x-4）=-5可化为x²-3x+1=0，
∵α、β是方程（x+1）（x-4）=-5的两实数根，
∴α+β=3，αβ=1，
∴α²+β²=（α+β）²-2αβ=7，α⁴+β⁴=（α²+β²）²-2Ვβ²=47，
∴$\frac{{β}^{3}}{α}+\frac{{α}^{3}}{β}$=$\frac{{α}^{4}+{β}^{4}}{αβ}$=47，
故答案为：47．

点评 本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据已知条件对$\frac{{β}^{3}}{α}+\frac{{α}^{3}}{β}$进行变形．