Question

【题目】如图，已知菱形，，、分别是、的中点，连接、．

求证：四边形是矩形；

若，求菱形的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）

【解析】

（1）由菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形；

然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再由菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等，从而判定出四边形AECF是平行四边形；再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；

（2）根据勾股定理求出AE的长度，然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解．

证明：∵四边形是菱形，

∴，

又∵，

∴是等边三角形，

∵是的中点，

∴（等腰三角形三线合一），

∴，

∵、分别是、的中点，

∴，，

∵四边形是菱形，

∴且，

∴且，

∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

又∵，

∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；解：在中，，

所以，．